Geometría. Puerta del Vino.

proporción en la Puerta del Vino, interior

Donde hay belleza hay matemáticas. La Alhambra en Granada es el único monumento construido anterior al descubrimiento de los grupos cristalográficos planos que guarda al menos un ejemplo de la construcción de cada uno de estos grupos. Estos 17 grupos suelen utilizarse en la decoración geométrica de los zócalos o frisos de los palacios nazaríes, pero no sólo en ellos encontramos soluciones matemáticas.

La Puerta del Vino es una de las entradas primitivas al conjunto de Alhambra y en ella podemos observar una forma básica geométrica, el rectángulo. La proporción básica del Islam es el cuadrado o, dicho de otra forma, un rectángulo de proporción 1 donde ambos lados son iguales; dos cuadrados unidos forman un rectángulo de proporción 2. 

simetría en Puerta del Vino, exterior

En Alhambra, la proporción más usada es √2 (raíz cuadrada de dos) y es complicado manejarlo matemáticamente porque es un número irracional donde el resultado son infinitas cifras decimales no periódicas (=1,41421356237), aunque es muy fácil utilizarlo a nivel geométrico. En la Puerta del Vino vemos un cuadrado formado por las dos ventanas y un gran rectángulo enmarcando el arco completo de la puerta hasta el friso de las dovelas. 

Estos elementos geométricos, si nos fijamos, son visibles tanto en la fachada exterior de la Puerta del Vino como en su fachada interior, una vez atravesada la Puerta. El rectángulo no está formado por casualidad sino que su proporción es de √2. Se constituye fácil ya que de un cuadrado, sobre un lado, se dibuja la diagonal, se abate sobre uno de los dos lados y trazando las paralelas se obtiene el rectángulo con esa proporción. 

raíz cuadrada de dos en la Puerta del Vino

También se llega a este resultado recordando el Teorema de Pitágoras, el cual establece que, en todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es decir que C² = A² + B², siendo la proporción más conocida entre las que tienen nombre propio en las matemáticas.

Otra observación matemática en esta misma Puerta del Vino es la orientación de las dovelas del dintel sobre el alfiz del arco. Los ejes de las dovelas convergen en el centro de la línea de impostas pero no es casualidad pues el triángulo que se forma con estas líneas es un triángulo equilátero y que le otorga una armonía y estética exquisitas a la puerta, gracias, de nuevo, a la ciencia de las matemáticas.

ejes de las dovelas del dintel en la Puerta del Vino, interior

Los mosaicos, como se dijo al principio, son otros de los elementos que están completamente impregnados de matemáticas, reinando la composición geométrica en Alhambra, siendo la misma imagen que se nos va repitiendo indefinidamente. En la Puerta del Vino tenemos otro ejemplo. Si tenemos un triángulo equilátero, obtenemos su centro o punto central que nos sirve de base para trazar el llamado motivo mínimo del que será nuestro elemento básico que decore el mosaico.

A partir de ese motivo mínimo giramos la línea poligonal a partir del centro 120º. Después, otro nuevo giro de 120º y para obtener la loseta básica matemática del mosaico debemos colocar -sirviendo de ayuda un espejo- la reflexión del triángulo original, es decir, su imagen simétrica, de esta forma tendremos determinada la loseta básica con los vectores de traslación. La traslación en este aspecto puede entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantiene la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados o, lo que es lo mismo, obtenemos dos simetrías paralelas. 

reflexión & mosaico mural original bajo la Puerta del Vino

Para generar ahora el mosaico sólo hay que trasladar la loseta en las dos direcciones que indican los vectores de traslación y así se obtiene un patrón infinito de mosaicos. En el interior de la Puerta del Vino podemos ver uno de estos mosaicos en directo y, por gran cantidad de mosaicos que podamos encontrar, todos se rigen según algunos de los 17 tipos de algoritmos mencionados en un principio como grupos cristalográficos planos.

Como ya se dijo, la Alhambra es el lugar, de toda la civilización, donde se han reunido los 17 grupos en sus variadas construcciones. Existen cuatro tipos de movimientos en el plano que generan esos 17 tipos de mosaico y podríamos denominarlos el giro, la simetría, las traslaciones y la simetría con desplazamiento (rotación, reflexión, traslación y reflexión sesgada, respectivamente). El resto sería alternar estos cuatro movimientos hasta formar cada uno de los trece tipos restantes. Por otra parte y por razones desconocidas hasta el momento, no sólo en la Alhambra nazarí aparecen evidentes juegos matemáticos.