Alhambra de Granada. Un poema matemático.

Simetría matemática en Alhambra

En la historia de las matemáticas, los árabes ocupan un lugar nada despreciable ya que gracias a ellos conocemos la mayoría de las obras de los griegos, sin olvidarnos de sus grandes aportaciones en el terreno de la aritmética y de la astronomía. A ellos les debemos algo tan fundamental como los símbolos de las cifras como los usamos en la actualidad con la inapreciable aportación del cero traído directamente desde la India a Europa.

Donde su herencia alcanzará la culminación, al menos desde un punto de vista estético, es en los mosaicos geométricos, creando auténticos poemas matemáticos que causarán la admiración y el asombro durante siglos y hablar de mosaicos y pensar en el arte hispano-musulmán es automático. La Alhambra constituye, de hecho, una de las manifestaciones más hermosas de arte geométrico y los motivos para esta explosión de arte son fundamentalmente religiosos. 

Cabe decir que el libro sagrado del islam, el Corán, al contrario de lo que suele pensarse, no prohíbe expresamente la representación de humanos o animales, aunque sí tajantemente desaconseja la representación icónica de Allah y sus profetas en lugares religiosos con el fin de no adorar imágenes. Aún así, como veremos en otro capítulo, la geometría utilizada en decoraciones de Alhambra contiene mensajes coránicos de corriente sufí.

ejemplo de sello de Salomón en las paredes de la Alhambra

Por otra parte, la divinidad se identifica con el uno, con la singularidad. Si analizamos cualquiera de los mosaicos o zócalos de azulejos en el conjunto de la Alhambra, el efecto visual que producen es que efectivamente ningún punto es singular ni más importante que los demás. Este efecto se consigue mediante dos técnicas, la aplicación de recursos de simetría y la obsesión por llenar todo el plano de forma regular y armoniosa de tal manera que no exista un centro de gravedad de la composición.

Esto obligaba a los artistas musulmanes a recurrir no sólo a la geometría para ornamentar sus obras sino a la geometría dinámica, basada en la composición de movimientos en el plano. Este hecho y su enorme creatividad y conocimiento de las matemáticas y la geometría ha convertido al arte musulmán, y más concretamente al andalusí, en el punto culminante del arte con motivos geométricos.

mosaico de hueso en el Palacio del Mexuar en la Alhambra

Si fijamos la atención en el mosaico de la imagen anterior, a primera vista parece que sus motivos no tienen ninguna relación con polígonos regulares pero, al observar con más detalle, parece que el azulejo sea un mosaico en forma de hueso y de hecho a este mosaico se le conoce con este nombre. En realidad, dicha forma de hueso que vemos en el zócalo de la sala principal del Palacio del Mexuar se obtiene mediante una deformación de un cuadrado ya que tiene su origen en un cuadrado al que se le extraen dos trapecios de su interior para recolocarlos en los dos lados opuestos.

En el mosaico conocido como pajarita nazarí, la forma de pajarita se obtiene mediante el mismo procedimiento ya citado. En este caso, deformando un triángulo equilátero y mordiendo cada uno de sus lados, añadiendo dicha mordida a sus extremos tras aplicar un giro de 180º. El paño siguiente, perteneciente al Patio de los Arrayanes, es similar al que se encuentra en la bayt al-barid o sala fría de los Baños Reales del Palacio de Comares, retomando el tema del triángulo-hélice pero esta vez rompiéndolo con la adición de estrellas y hexágonos.

mosaico de pajarita nazarí en el Patio de los Arrayanes

Al negarle color a los hexágonos les hace parecer como fondo y nos induce a ver como figura las tres aspas que convergen alternando un mismo elemento. En el arte, los motivos o diseños ornamentales se suceden en ritmos reiterativos hasta el infinito, como una metáfora de la eternidad que llena todo el espacio. En los mosaicos se repiten uno o más elementos, generalmente hechos a molde, para cubrir una superficie de modo periódico, existiendo una figura básica cuya traslación en dos ejes produce el conjunto.

El mosaico del pétalo se obtiene deformando un rombo, es decir, a partir de un rombo formado por dos triángulos equiláteros y mediante la traslación de dos segmentos que se recortan de dos de los lados. Y el mosaico del avión en el cuarto Dorado del Palacio del Mexuar, con forma de ocho lados, parte de un cuadrado al que se le extraen dos triángulos para añadírselos en el exterior tras hacerlos girar 90º. El mosaico de pez volador, por su parte, lo obtuvieron sustrayendo, al interior de un cuadrado, dos pequeñas formas triangulares que son trasladadas al vértice opuesto tras aplicarles un giro de 90º. 

Y es que, en general, deformando de la manera descrita cualquiera de los polígonos que rellenan el plano podemos obtener interesantes mosaicos de carácter artístico. Los tracistas y geómetras nazaríes siguieron caminos indirectos para expresar su visión del mundo y por ello en la Alhambra lo evidente siempre esconde algo más: realidades reflejadas, ideas que superponen lo divino y lo humano.

mosaico de avión en Cuarto Dorado

Otra técnica bastante frecuente aunque, sin duda, mucho más elaborada es el solapamiento de cuadrados que da origen al mosaico denominado el sello de Salomón. Este solapamiento de cuadrados (un cuadrado pequeño central con giro de cuadrados grandes a su alrededor) está latente en las decoraciones más llamativas del arte hispano-musulmán y en las estrellas y los lazos presentes en impresionantes mosaicos y en bellísimos artesonados.

En los alicatados no puede aislarse un elemento generatriz, pues intervienen procedimientos sucesivos de escala, rotación, saltos de nivel, que hacen un conjunto indivisible. Lo que entra en juego en el siguiente ejemplo que encontramos en el Salón de Embajadores del Palacio de Comares, es la simetría, bien respecto a 1, 2, 3, 4, 6 ejes del plano, así como los juegos de los elementos más pequeños que combinan para formar otros de orden superior.

Sello de Salomón con simetría de orden 8 en Salón de Embajadores

A primera vista estas figuras tienen una estructura geométrica tremendamente compleja. De hecho, predomina la simetría de orden 4, 8 o 16. En algunos casos podemos encontrar simetría de orden 3, 6 y 12. Lo que hace de la Alhambra un lugar mágico y especial, desde el punto de vista de las matemáticas, no es sólo la belleza, la armonía y la abundancia de formas basadas en diseños geométricos. Hay un hecho más sorprendente que revela el conocimiento matemático de nuestros antepasados musulmanes y es que, aunque parezca que hay infinidad de estructuras en estos mosaicos, todos se ajustan a 17 modelos distintos llamados grupos cristalográficos planos.

Desde hace tiempo se conocía la existencia de 16 de esos grupos en la Alhambra y había un grupo de simetría que parecía haberse escapado a los artistas granadinos, pero por fin fue localizado hace unos años por el doctor Pérez Gómez de la Universidad de Granada, correspondiendo al grupo p3m1. La sorpresa es mayúscula porque aquella civilización se supone que no podía conocer cuántos grupos de simetrías se podían usar para llenar el plano porque ese concepto surgió cuatro siglos más tarde, es decir, el teorema de clasificación de Fedorov (teorema de este matemático ruso que data del año 1891), que demuestra que sólo son posibles 17 grupos.

mosaico con simetría de orden 12 en Sala de los Reyes

Un paseo por cualquiera de las recónditas estancias de la Alhambra parece transportarnos, como si de un fabuloso viaje en el tiempo se tratara, al mundo de estética y sensibilidad que hace seis siglos inspiró a los artistas nazaríes. Mirando con ojos matemáticos este viaje nos conduce a otro universo mágico, pleno de belleza y poesía geométrica, el mundo de las particiones periódicas del plano. Todo ello hace que la Alhambra sea un terreno abonado para el estudio no sólo del arte sino también de las matemáticas y de la geometría en particular.

Toda la intuición, talento y originalidad de los artesanos granadinos fueron dirigidas hacia la creación de simetrías, giros y traslaciones que hicieran bella una creación con fines decorativos. Y llegaron con sus conocimientos de las simetrías hasta el límite de las 17 posibles simetrías planas. En definitiva, se trata del único monumento construido antes del advenimiento de la Teoría de Grupos donde se ha probado que están presentes los 17 grupos cristalográficos planos.

simetría de orden 16 en el Palacio del Mexuar

Como el citado ilustre matemático Pérez Gómez nos dice, cada uno de los mosaicos presentes en la Alhambra podría formar parte de un tratado de geometría, además de ser un legado cultural con auténtico valor matemático y científico en la actualidad. En el Palacio de Comares, construido en la época de mayor esplendor nazarí, se encuentran los mosaicos con las más bellas decoraciones geométricas, donde las simetrías (equilibrio, orden y belleza) encontradas corroboran dichas afirmaciones.

La Alhambra ha inspirado a artistas a lo largo de los siglos como Antoni Gaudí, Manuel de Falla, Debussy, Paco de Lucía, García Lorca, Washington Irving, Enrique Morente, Unamuno, Sorolla, Rafael Alberti, Gerald Brenan, Owen Jones, Mariano Fortuny, Francisco Tárrega, Matisse y un largo etc en sus distintas facetas artísticas. Su embrujo cautivó tanto a escritores como a poetas, músicos, escultores, fotógrafos, arquitectos o pintores.

Metamorphoses de Escher

Entre estos últimos destaca de una manera especial el holandés Maurits Cornelis Escher, seguramente el pintor más estimado entre los matemáticos. Este artista llegó a decir en un ejercicio de modestia "En vano me esfuerzo en creer que algo tan obvio como dibujar figuras que se complementan mutuamente no se le hubiera ocurrido antes a nadie".

Este mismo pintor, que por supuesto pasó por la Alhambra, nos dejó también una reflexión acerca de la geometría dinámica "Me regocijo en esta perfección y soy testigo claramente consciente ya que no soy yo quien lo inventó o descubrió. Las leyes matemáticas no son meras invenciones humanas sino que simplemente lo son, existen independientemente del intelecto y lo más que un hombre puede hacer es descubrir que están ahí y tomar conciencia de ellas". 

ejemplo con simetría de orden 8 en sala principal del Mexuar

La Alhambra aúna casi todas las ramas de estudio de las matemáticas, como el álgebra, la geometría o la aritmética y todo ello con un denominador común: la belleza. Desde la orientación hasta la numerología, desde el número áureo hasta la simetría en la decoración de los azulejos, toda la belleza de La Alhambra está construida sobre la geometría. En Alhambra hay rincones increíbles que han sido creados por la mano del hombre, pero parecen inverosímiles como si hubiesen sido apuntados por una mano divina en su elaboración.

Aparte de los ya citados grupos de simetrías encontramos también otras facetas matemáticas en el conjunto monumental de Alhambra como el número áureo o las proporciones pitagóricas en elementos decorativos. Por ejemplo, la fachada del Palacio de Comares, aparentemente muy sencilla, fue diseñada milimétricamente haciendo uso de rectángulos áureos y sus recíprocos. El número áureo también llamado divina proporción, de hecho, aparece en multitud de lugares de toda la Alhambra ya sea en ventanas, arcos, puertas o salones.

mocárabes en cúpula de la Sala de los Abencerrajes

Por su parte, los mocárabes, elemento clave en la decoración en la Alhambra y por extensión en el arte islámico, está formado por prismas yuxtapuestos dirigidos hacia abajo que acaban, también, en prismas más estrechos de superficie cóncava. De forma repetida parecen estalactitas y aquí en la Alhambra se encuentran todos los tipos y variedades existentes en el arte islámico. Son absolutamente espléndidas las cúpulas de mocárabes en la Sala de Dos Hermanas y en la Sala de los Abencerrajes, ambas en el interior del Palacio de los Leones, por citar solo dos ejemplos.

También encontramos matemáticas en las columnas de galgo, nombre por el que se conocen a las columnas de los salones y edificios del arte nazarí, utilizadas por primera vez en este monumento brillando especialmente las que encontramos en el Patio del Palacio de los Leones. Se trata de columnas estilizadas de fuste cilíndrico con collarinos de decoración geométrica, con capitel de tronco cónico y con numerosa y variada decoración igualmente geométrica.

columnas de galgo con capitel cónico en el Patio de los Leones

Parece extendida la convicción de que todo visitante en la Alhambra tiene la percepción de estar en un monumento mucho más grande de lo que realmente es. Se traslada la sensación, entre los estudiosos, que hay por ahí algún conocimiento científico antiguo desconocido en la actualidad como luz, éter o misterio que produce ese bienestar corporal. También cabe mencionar en la visita a la Alhambra la existencia del síndrome de Stendhal, también conocido como el síndrome de la sobredosis de belleza, ya que es natural sentirlo en un conjunto monumental con tanta acumulación de equilibrio y armonía.

Podemos encontrar también numerología en las lacerías, siendo adornos entrelazados de líneas rectas o curvas, utilizándose en alicatados, azulejos, mosaicos o techos, siempre con motivos geométricos definidos. Las celosías en la Alhambra son otro ejemplo de una decoración geométrica excepcional, incorporando polígonos regulares, habitualmente en forma estrellada o circular, formando nidos de abeja. En resumen, las proporciones fueron utilizadas por todo el monumento, lo que aporta, sin lugar a dudas, armonía al conjunto. 

lacería en la Sala de Dos Hermanas, Palacio de los Leones

Es conocida por todos la pirámide de Keops en la ciudad de El Cairo, Egipto. Pues bien, el Salón de Embajadores del Palacio de Comares (planta cuadrada de 11 m y 18 m de altura) tiene una proporción 150 veces menor. Si en lugar de utilizar el sistema métrico decimal lo hacemos con la unidad de medida egipcia, el codo, la aproximación al número áureo o divina proporción es aún más exacta aunque, como apuntan algunos autores, con algún mínimo error de cálculo dejando la perfección para Allah.

El Salón del Trono, mayormente conocido como Salón de Embajadores, tiene la forma perfecta de un cuadrado de proporciones pitagóricas, 7 a 5, lo que hoy llamamos raíz cuadrada de dos y, aunque en aquella época los números irracionales no se conocían, sí se pudieron dibujar y llevar a cabo en sus construcciones. El conjunto de la Alhambra, en definitiva, es toda una joya conservada en el tiempo y de un campo visual de experimentación matemática inigualable.

Como ejemplos matemáticos podemos también citar el equilibrio del rectángulo pitagórico del Patio de la Madraza de los Príncipes (Palacio del Mexuar), la proporción del pórtico y arcos en el Patio de los Arrayanes (Palacio de Comares), la proporción áurea del arco del mihrab (en el Oratorio del Palacio del Mexuar y en la Torre del Mihrab en el Palacio del Partal) o la proporción cordobesa con transición del cuadrado al octógono en el mirador de Lindaraja (en Sala de Dos Hermanas del Palacio de los Leones).

muro de la qibla y mihrab en el oratorio del palacio del Mexuar

Las distintas proporciones usadas por los artistas granadinos en época nazarí se llevaron a cabo con diferentes objetivos pero con un único fin, dar armonía y belleza al conjunto palaciego a la vez que se entregaban alabanzas a Allah y sus bellos nombres en cada medida y figura geométrica. De esa forma, se fueron usando diversos tipos de proporciones para jerarquizar las distintas estancias del palacio hasta llegar al sultán.